Neulich erblickte ich auf einem Rasen vor einem öffentlichen Gebäude ein neu aufgestelltes Kunstwerk. Es bestand aus 20 Würfeln, die so zu einem großen 3x3x3-Würfel zusammengesetzt waren, dass der Zentralwürfel und die sechs Flächenmitten fehlten. Und weil man ja immer etwas zum Nachdenken braucht, stellte ich mir folgendes vor:
Angenommen, diese Figur wäre aus lauter Spielwürfeln zusammengeklebt. Wie groß wäre dann die Summe der Augen auf den Flächen, die nicht von anderen Würfeln verdeckt sind?
Schon nach kurzer Überlegung stellte ich fest, dass der Wert davon abhängt, wie herum man die einzelnen Würfel einbaut. Also musste ich die Aufgabe verändern. Wenn nun die Figur so gebaut worden wäre, dass nur Würfelflächen aneinandergeklebt wurden, die die gleiche Augenzahl zeigen...
Kannst du mein Problem jetzt lösen?
Die Augen auf gegenüberliegenden Seiten eines Würfels ergeben zusammen stets 7. Klebt man also drei Würfel so aufeinander, dass jeweils gleiche Augenzahlen aufeinander liegen, so wird auch die Augensumme der Kopf- und der Schwanzfläche der entstandenen Stange 7 betragen.
Der Hohlwürfel besteht wegen seiner 8 Ecken aus 8 * 3 = 24 Kopf- und Schwanzflächen von Stangen, was eine Augensumme von 12 * 7 = 84 ergibt. Hinzu kommen je zwei Flächenpaare von Kantenwürfeln, von denen es 12 Stück gibt. Die zugehörige Augensumme beträgt 12 * 2 * 7 = 168.
Somit beträgt die Augengesamtsumme des Hohlwürfels 84 + 168 = 252.